\documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \title{数学II講義ノート} \date{2008年12月8日} \begin{document} \maketitle \subsubsection*{Th.7.8} $A \in M(n,\mathbb{C}) , \{\lambda_1,\dots , \lambda _k \} $を，Aの相異なる固有値全体し，各 $\lambda _k$の重複度を$\nu_i$とする． このとき，以下の条件は同値．\\ (1)Aは対角化可能 \\(2)dim$E(\lambda_i)=\nu_i \: (i=1.\dots,k).$ \subsubsection*{proof} $(1)\Rightarrow(2)$　\; 対角化可能であることの定義から，正則行列 $Q \in M(n,\mathbb{C} )$が存在して， $Q^{-1} AQ=diag(\underbrace{\lambda_1 , \dots, \lambda_1}_{\nu_1}, \dots , \underbrace{ \lambda _k ,\dots , \lambda _k}_{\nu_k})$\\ これより，$AQ=Qdiag(a\lambda _1,\dots, \lambda_1, \dots , \lambda _k ,\dots , \lambda _k)$ … (＊) \\$Q=(\textbf{q}_1 ,\dots, \textbf{q}_n) , \: \textbf{q}_i \in \mathbb{C}^{n}$と書く (＊)より， \[ (A\textbf{q}_1, \dots , A\textbf{q}_n) = (\lambda_1 \textbf{q}_1, \dots , \lambda_1 \textbf{q}_{\nu_1}, \dots , \lambda_k \textbf{q}_{n-\nu_{k}+1}, \dots , \lambda_k \textbf{q}_n) …(☆) \] (☆)より，各$\lambda_i$に対して，$\nu_i$個以上の線形独立な固有ベクトルが存在する． これより，dim$E(\lambda_i)\geq \nu_i$\\ ところが，$\mathbb{C}^n=E(\lambda_1)\oplus \dots \oplus E(\lambda_k) (Th 7.6)$ なので， $n=$dim $\mathbb{C}^n =dim E(\lambda_1)+$dim$E (\lambda_2) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k) = \dots = \sum_i $dim$E(\lambda_i) \geq \sum_i \nu_i =n (固有多項式の次数)$ \\ 不等号は等号でなければならない．$\Rightarrow $dim$E(\lambda_i)=\nu_i$ $(2)\Rightarrow(1)$ \: Th.7.6より，$\mathbb{C}^n =E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k) $を 示せばよい．\\ 包含$\mathbb{C}^n \supset E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k)$は 明らかなので，$dim$$E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k) = n$を示せばよい． \[dimE(\lambda_1) \oplus \dots \oplus dimE(\lambda_k) = dimE(\lambda_1) + \dots + dimE(\lambda_k) = \dots = \sum_i dimE(\lambda_i)= \sum_i \nu_i =n \] となり，$\mathbb{C}^n =E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k) $ \subsection*{Def 7.9} $V:複素ベクトル空間, T \in End(V)$とする．\\ $Tが対角化可能　\\\Leftrightarrow ある基底に関するTの表現行列が対角行列．$\\ $\alpha \in \mathbb{C} に対して，　E(\alpha) =E (\alpha ; T) =\{\textbf{v} \in V : T \textbf{v}= \alpha \textbf{v}\}$ \\ $ E(\alpha) \neq \{\textbf{0}\} $ のとき, $\alpha をTの固有値という． このとき，E(\alpha)のベクトルを固有値\alpha$に対するTの固有ベクトルという． Tの固有多項式を $\Phi_T (x)$とすれば，$\alpha$が固有値 $\Leftrightarrow \Phi_T (\alpha) =0$\\ $\alpha$ がTの固有値である時，$\alpha$の$\Phi_T(x)$における重複度を，$\alpha$の重複度という． \subsection*{Th7.10} $V:複素ベクトル空間, T \in End(V) , \{ \lambda_1, \dots , \lambda_k \}:Tの相異なる固有値とする.$\\ このとき，以下の条件は互いに同値\\ $(1)Tは対角化可能\\ (2)V=E(\lambda_1 ; T) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k ; T)\\ (3)dim E(\lambda_i ; T)= \nu_i \: (i=1, \dots ,k) ただし，\nu_i は固有値\lambda_i の重複度．$ \subsubsection*{proof} Th7.6とTh7.8の言い換えである． \subsection*{Def7.11} $V:ベクトル空間, T \in End(V)\\$ $Vの部分空間WがT-不変 \Leftrightarrow T(W) \in W$\\ $ \Leftrightarrow$Tの定義域をWに制限したものはWの線形変換になる． \subsection*{Th7.12} $V:複素ベクトル空間, T \in End(V)$ とする \\ $Tが対角化可能 \Leftrightarrow Vの任意のT-不変部分空間Wに対して，次の性質を充たすT-不変部分空間W'が存在する;V=W \oplus W' $\\ \subsubsection*{proof} $\Rightarrow$ の証明 Tの相異なる固有値全体を$\{\lambda_1,\dots , \lambda _k \}$とする． W:T-不変部分空間とする． Tは対角化可能なので，Th7.10 より，$V=E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k)$\\ このとき，$W(\lambda_i)= W \cap E(\lambda_i)$とする．\\ \\ \textbf{\underline{Step1}} \; $W=W(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W(\lambda_k)$の証明\\ $W \supset W(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W(\lambda_k)$は明らかなので， $W \subset W(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W(\lambda_k)$を示す.\\ $\textbf{w} \in W$ とする． 直和分解$V=E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k)$に応じて， \[ \textbf{w} = \textbf{w}_1 + \dots + \textbf{w}_k, \: \textbf{w}_i \in E(\lambda_i) \] と一意的に表すことができる．\\ 各$\textbf{w}_i \in W$を示せればよい．（そうすれば，$\textbf{w}_i \in W \cap E(\lambda_i) = W(\lambda_i)$ ）\\ $\textbf{w}=\textbf{w}_1 + \dots + \textbf{w}_k$の両辺に$T^l$を作用させる．\\ $T^l \textbf{w}_i = \lambda_i ^l \textbf{w}_i$より，\\ $\lambda_1 ^l \textbf{w}_1 + \dots + \lambda_k ^l \textbf{w}_k = T^l \textbf{w} \; (l\geq 0)$\\ $l=0,1,\dots ,k-1$に対して上の式をまとめると， \[\left( \begin{array}{cccc} 1 &1 & \dots & 1 \\ \lambda_1 &\lambda_2 & \dots & \lambda_k \\ \dots & \dots & \dots&\dots \\ \lambda_1^{k-1} &\lambda_2^{k-1} &\dots & \lambda_k^{k-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \textbf{w}_1 \\ \textbf{w}_2 \\ \vdots \\ \textbf{w}_k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \textbf{w} \\ T\textbf{w} \\ \vdots \\ T^{k-1} \textbf{w} \end{array} \right)\] 係数行列の行列式はvandermonの行列式なので $\lambda_1,\dots, \lambda_k の差積. \lambda_i \neq \lambda_j \:(i\neq j)$より，係数行列 の行列式$\neq0$ よって，係数行列は，正則係数行列の逆行列を\\ $B=(b_{ij}) \in M(k,\mathbb{C})$とすれば\\ $\left( \begin{array}{c} \textbf{w}_1 \\ \textbf{w}_2 \\ \vdots \\ \textbf{w}_k \end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c} \textbf{w} \\ T\textbf{w} \\ \vdots \\ T^{k-1} \textbf{w} \end{array} \right)\\$ よって $\textbf{w}_i=\sum_{j=0}^{k-1} b_{ij} T^j \textbf{w} \: (i=1, \dots ,k)$ \\ これより， $ \textbf{w}_i \in \mathbb{C}\textbf{w} + \mathbb{C} T \textbf{w} + \dots +\mathbb{C} T^{k-1} \textbf{w} = \sum_{j=0}^{k-1} \mathbb{C} T^j \textbf{w} $\\ WはT-不変なので，$T^l \textbf{w} \in W (l \geq 0)$\\ したがって $\textbf{w}_i \in \sum_{j=0}^{k-1} \mathbb{C} \underbrace{T^j \textbf{w}} _ {\in W} \subset W$.\\ 以上から， $\textbf{w}_i \in W(\lambda_i) $となり， $W=W(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W(\lambda_k)$\\ \\ \textbf{\underline{Step2}}\\ $V=W \oplus W'$となるW'の構成 $W(\lambda_i)$は$E(\lambda_i ; T )$の部分空間なので，$E(\lambda\i;T) W=W(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W(\lambda_k)$ を充たす$E(\lambda_i ; T )$の部分空間$W'(\lambda_i)$を選ぶ．このとき， $W'=W'(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W'(\lambda_k)$と定める． $E(\lambda_i ; T )$上で，Tは$\lambda_i$倍写像:\\ $\textbf{x} \in E(\lambda_i ; T ) \Rightarrow T \textbf{x} = \lambda_i \textbf{x}$これより， $W'(\lambda_i)$はT-不変．したがって，W'もT-不変．\\ $W \oplus W' = W(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W(\lambda_k) \oplus W'(\lambda_1) \oplus \dots \oplus W'(\lambda_k) \\ = (W(\lambda_1)\oplus W'(\lambda_1)) \oplus \dots \oplus (W(\lambda_k)\oplus W'(\lambda_k)) \\ = E(\lambda_1) \oplus \dots \oplus E(\lambda_k)\\ =V $\\\\ $\Leftarrow$ の証明 \;\; dimVに関する帰納法で示す． dimV=1 のとき明らか．\\ dimV